Алексей Юрьевич родился в Москве в 1952 году в семье известных биологов — профессоров Ю.А.Исакова и О.Сазоновой.

Учился сначала во французской спецшколе, а потом в математической. Знал несколько иностранных языков. Поступил на биофак Московского педуниверситета им. Ленина, но проучился всего год и ушел в армию. После возвращения из армии учебу уже не продолжил.

Академического художественного образования Алексей тоже не получил, однако врожденный талант и перенятый у родителей интерес к животным позволили ему стать гениальным художником-анималистом.

В своих произведениях он следовал традициям русских мастеров, используя акварель и тончайшие кисти из соболиного волоса. В итоге у него рождались удивительные картины, которые настолько подробно детализированы, что звери и птицы на них кажутся живыми.

Алексей Исаков широко известен своими картинами дикой природы, представленными на открытках и почтовых марках, и получил несколько призов «Лучшая марка года» от журнала «Филателия». Кроме того, сделал иллюстрации к детским книжкам про животных и ряду книг по вопросам орнитологии.

В 1990-х годах Алексей Исаков получил и международную известность, рисуя Конверты Первого Дня и марки для американского орнитологического общества «Audubon» и декоративные фарфоровые тарелки с изображением домашних питомцев для британской компании «Bradford Exchange».Его перу принадлежат 164 открытки, 154 конверта, 47 марок.

Умер Алексей Исаков неожиданно и скоропостижно в своей московской студии в 2001 году.